Es gibt verschiedene Modelle mit denen man Prämien und Griechen von Optionen berechnen kann. Die wichtigsten sind das Binomial- und das Black-Scholes Modell. Wie werden hier nicht einfach die Formeln vorstellen, sondern auch einen einfachen Optionsrechner für eine Tabellenkalkulation bauen.
Das Black-Scholes Modell wurde bereits in den 1970er Jahren entwickelt und die Erfinder Black, Scholes und Merton erhielten 1997 den Nobelpreis. Die Berechnung wird seither fast unverändert verwendet und gilt für Optionen europäischen Stils mit und ohne Dividende.
In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Black-Scholes Modell
Grundannahmen
- Die Märkte sind immer geöffnet
- Transaktionskosten werden nicht berücksichtigt
- Underlying und Optionen können in jeder teilbaren Einheit gehandelt werden
- Zinssatz und und Volatitilät des Underlyings bleiben über die ganze Laufzeit konstant
- Jede Order kann am Markt platziert werden ohne dass dies eine Auswirkung auf den Kurs des Underlyings hat
- Es gibt keine Gaps
- Der aktuelle Kurs wird niemals durch einen vorhergehenden Kurs beeinflusst – stochastischer Prozess
- Am Markt gibt es keine Möglichkeit zur Arbitrage
Einflussfaktoren
- Kurs des UL – (S)
- Strike – (K)
- Volatilität (σ)
- risikoloser Zins (r) [%/Jahr]
- Dividendenrendite (q) [%/Jahr]
- Restlaufzeit (t) [% Jahre]
Formeln Prämie
Preis Call = S x e-qt x N(d1) – K x e-rt x N (d2)
Preis Put = K x e-rt x N(-d2) – S x e-qt x N(-d1)
d1= [ln(S / K) + t x (r – q + σ2 /2 )] / σ x √t
d2 = d1 – σ x √t
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Formeln Griechen
Delta Call = e-qt x N(d1)
Delta Put = e-qt x [N(d1)-1]
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Gamma = [e-qt / (S x √t)] x N´(d1)
N´(d1) = (1 / √2π) x e -d(1)²/2
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Theta Call = 1 / 365 x [ – ((S x σ x e-qt / 2 x √t) x N´(d1)) – r x K x e-rt x N(d2) + q x S x e-qt x N(d1)]
Theta Put = 1 / 365 x [ – ((S x σ x e-qt / 2 x √t) x N´(d1)) + r x K x e-rt x N(–d2) – q x S x e-qt x N(–d1)]
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Vega = 1 / 100 x S x e-qt x √t x N´(d1)
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Rho Call = 1 / 100 x K x t x e-rt x N(d2)
Rho Put = – 1 / 100 x K x t x e-rt x N(-d2)
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Umsetzung
Hierzu wechseln wir in Google Tabellen. Einfach auf den Freigabelink klicken, in Google Tabellen eine Kopie erstellen und mit neuem Namen abspeichern. Dann kann das Tabellenblatt bearbeitet werden.
Alle Formeln in den Zellen sind sichtbar und nicht geschützt damit die Berechnungen nachvollzogen werden können.